[경영 경제] 확률과 통계 세특 주제 탐구 - 확률분포가 활용된 금융 리스크 분석

[경영 경제] 확률과 통계 세특 주제 탐구

확률분포가 활용된 금융 리스크 분석

 

안녕하세요. 대치동 미래인재컨설팅입니다. 금융 시장은 예측할 수 없는 다양한 변수들로 인해 지속적으로 변동합니다. 투자자, 금융 기관, 정책 입안자들은 이러한 불확실성을 관리하고 미래의 위험을 줄이기 위해 여러 가지 분석 방법을 활용합니다.그중에서도 확률분포는 금융 리스크 분석에서 중요한 도구로, 잠재적인 손실의 규모와 발생 확률을 수치적으로 평가하는 데 필수적인 역할을 합니다. 

확률분포는 특정 사건이나 변수의 발생 가능성을 수학적으로 모델링하며, 이를 통해 과거 데이터를 기반으로 미래의 불확실성을 예측할 수 있도록 돕습니다. 예를 들어, 주식의 가격 변동, 채권의 부도 가능성, 외환 환율의 변동 범위 등을 분석할 때 확률분포를 활용하여 리스크를 수치적으로 평가할 수 있습니다. 이러한 분석은 단순한 직감에 의존하는 것이 아니라, 수학적이고 체계적인 방법을 통해 금융 의사결정을 더 신뢰할 수 있게 만듭니다.

대치동 미래인재컨설팅의 포스팅에서는 금융 리스크 분석에 자주 활용되는 확률분포들에 대해 알아보고, 각 분포가 어떤 상황에서 적합하게 활용되는지에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 

 

정규분포

정규분포는 "벨 커브" 또는 "가우시안 분포"라고도 불립니다. 이 분포는 평균(μ)과 표준편차(σ)라는 두 가지 매개변수로 정의됩니다. 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 표현됩니다:

 

1. 정규분포의 금융 리스크 분석 활용

정규분포는 자산 가격 변화(예: 주식, 채권 등)가 평균 주위에서 정규 분포한다고 가정할 때, 가격 변동성(즉, 위험)을 분석하는 데 유용하게 사용됩니다. 일반적으로 자산의 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하며, 이를 통해 다음과 같은 분석을 할 수 있습니다. 정규분포를 이용하여 자산의 향후 수익률을 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 자산이 평균적으로 5%의 수익을 낼 것으로 예상되고, 그 변동성이 2%라면, 수익률이 ±2% 내에 있을 확률이 68%로 계산됩니다. VaR은 특정 기간 동안 예상 가능한 최대 손실을 의미합니다. 자산의 수익률이 정규분포를 따른다면, VaR을 정규분포의 퍼센타일을 통해 계산할 수 있습니다.

신용 리스크 분석에서, 예를 들어 기업의 파산 확률이나 채무불이행(default probability)을 예측하는 데도 정규분포를 활용할 수 있습니다. 특히, 디폴트 확률 모델에서는 기업의 자산 수익률이 정규분포를 따른다고 가정할 수 있습니다. 이 경우, 정규분포를 이용하여 신용 리스크를 계산하고, 기업이 파산할 확률을 추정할 수 있습니다.

2. 적합한 상황

자산 가격 변동성이 일정하고, 큰 외부 충격이나 비정상적인 사건이 발생하지 않는 상황에서는 정규분포가 잘 맞습니다. 또한 시장이 안정적이고 예측 가능한 경향을 보이는 장기적인 시간 범위에서는 정규분포를 사용한 예측이 유효할 수 있습니다. 자산 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하여 리스크 측정(예: VaR, CVaR)과 포트폴리오 최적화에 활용할 수 있습니다.

3. 한계

정규분포는 극단적인 사건(예: 금융위기, 시장의 급격한 폭락 등)을 과소평가하는 경향이 있습니다. 정규분포의 "꼬리" 부분이 매우 얇기 때문에, 이러한 극단적이고 예외적인 사건들을 잘 설명하지 못할 수 있습니다. 이런 이유로 금융위기와 같은 사건을 예측하거나 분석할 때, 리스크의 꼬리 부분이 두꺼운 분포(예: 파레토 분포, Cauchy 분포 등)가 더 적합할 수 있습니다.

시장 상황이 비정상적일 때(예: 금융 위기, 급격한 금리 변화 등), 자산 수익률 분포는 정규분포를 따르지 않는 경우가 많습니다. 이때는 로그정규분포나 다른 분포를 사용하는 것이 더 나을 수 있습니다.

 

로그정규분포

로그정규분포는 기본적으로 자산 가격이나 수익률의 지속적인 변화가 정규분포를 따를 때 자산 가격 자체는 로그정규분포를 따른다는 특성을 가지고 있습니다. 자산 가격 St​의 로그가 정규분포를 따를 때, 자산 가격 St​는 로그정규분포를 따릅니다.

 

1. 로그정규분포의 금융 리스크 분석 활용

포트폴리오의 수익률이 로그정규분포를 따른다고 가정할 때, 전체 포트폴리오의 리스크를 계산하는 데 로그정규분포를 활용할 수 있습니다. 포트폴리오의 수익률은 여러 자산의 수익률을 결합한 것이기 때문에, 각 자산의 수익률이 로그정규분포를 따른다면 포트폴리오 리스크 계산에 유리합니다. 포트폴리오 내 자산들이 로그정규분포를 따른다면, 각 자산의 로그 수익률의 평균과 표준편차를 기반으로 포트폴리오의 전체 수익률을 추정할 수 있습니다. 포트폴리오 내 자산들의 상관관계를 고려하여 전체 포트폴리오 리스크를 계산할 때, 로그정규분포의 특성을 반영하여 리스크를 분석할 수 있습니다.

옵션 가격을 결정하는 데 있어서도 로그정규분포가 중요한 역할을 합니다. 블랙-숄즈 모델에서 자산 가격은 기하 브라운 운동을 따른다고 가정하는데, 이는 자산 가격이 로그정규분포를 따른다는 의미입니다. 따라서 로그정규분포는 옵션 가격 계산에 필수적인 요소입니다.

2. 적합한 상황

로그정규분포는 특히 자산 가격이 기하급수적인 변화를 보이는 경우에 적합합니다. 자산 가격이 시간이 지나면서 기하급수적으로 변동하는 경우, 자산 가격의 변동성이 일정하고 시장이 안정적일 때, 그리고 블랙-숄즈 모델과 같은 옵션 가격 모델링에서 자산 가격의 로그정규분포 가정은 매우 유용합니다.

3. 한계

로그정규분포는 자산 가격 변동성에 대한 예측에 유용하지만, 비정상적인 시장 조건에서는 정확하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 금융위기나 급격한 시장 충격 등의 경우 자산 가격의 변동성이 매우 커지거나 비정상적인 분포를 보일 수 있습니다. 이런 경우, 로그정규분포는 극단적인 이벤트를 잘 설명하지 못할 수 있습니다.

로그정규분포는 손실이 점차적으로 발생하는 경향을 반영하지만, 극단적인 손실을 설명하기에는 한계가 있습니다. 따라서 극단적인 리스크(예: 블랙스완 이벤트)에 대한 분석이 필요할 때는 다른 분포나 모델을 고려해야 할 수 있습니다.

 

 

포아송 분포

포아송 분포는 이산 확률분포 중 하나로, 주로 사건의 발생 횟수를 모델링할 때 사용됩니다. 이는 일정한 시간 동안, 일정한 비율로 발생하는 독립적인 사건들의 수를 설명하는 데 유용합니다.

 

1. 포아송 분포의 금융 리스크 분석 활용

포아송 분포는 디폴트(파산) 사건과 같은 신용 리스크를 분석할 때 활용됩니다. 예를 들어, 신용 리스크 분석에서 기업이 일정 기간 내에 디폴트가 발생할 확률을 예측하는 데 포아송 분포를 사용할 수 있습니다. 포아송 분포는 기업의 채무불이행 사건 발생 횟수를 모델링하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 일정 기간 동안 여러 기업이 디폴트할 가능성(사건 발생 횟수)을 분석할 때, 디폴트 사건이 독립적으로 발생한다고 가정하면 포아송 분포를 적용할 수 있습니다.

금융 시장에서 가격 급변이나 트랜잭션 리스크를 모델링할 때, 포아송 분포는 이벤트 발생 횟수를 다루는 데 유용합니다. 예를 들어, 시장에서 발생하는 가격 급변(폭락, 급등)이나 유동성 리스크와 같은 사건들을 모델링할 때 포아송 분포를 사용할 수 있습니다. 일정 기간 동안 주식이나 채권의 가격이 급격하게 변동하는 사건이 발생하는 횟수를 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 주식 시장에서 하루에 가격 변동폭이 일정 수준 이상인 경우가 몇 번 발생할지 예측할 때 포아송 분포가 유용할 수 있습니다.

2. 적합한 상황

금융 시장에서 발생하는 드문 사건, 예를 들어 기업의 파산, 거래 오류, 급격한 가격 변동과 같은 사건들이 독립적으로 발생한다고 가정할 수 있는 경우 포아송 분포가 적합합니다. 또한, 일정 기간 동안 발생할 사건의 빈도를 예측하고, 그로 인해 발생할 리스크를 분석하는 데 유용합니다.

3. 한계

포아송 분포는 사건들이 독립적으로 발생한다고 가정합니다. 그러나 현실에서는 사건들이 서로 영향을 미칠 수 있습니다. 예를 들어, 한 기업의 디폴트가 다른 기업의 디폴트에 영향을 미칠 수 있으며, 이런 상황에서는 포아송 분포의 가정이 맞지 않을 수 있습니다. 이 경우에는 복합 포아송 분포나 네거티브 이항 분포와 같은 다른 모델이 더 적합할 수 있습니다.

포아송 분포는 사건이 일정한 평균 비율로 발생한다고 가정합니다. 그러나 실제 금융 시장에서는 사건 발생률이 일정하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 금융위기나 경제적 불안정성이 발생하는 동안 특정 사건의 발생 확률이 급격히 증가할 수 있습니다. 이런 경우에는 비율이 변동하는 포아송 분포나 과잉 포아송 분포를 사용하는 것이 더 적합할 수 있습니다.

 

이항분포

이항분포는 이산 확률분포 중 하나로, 주어진 사건이 두 가지 가능한 결과 중 하나로 끝날 수 있는 경우에 사용됩니다. 금융 리스크 분석에서 이항분포는 두 가지 결과가 발생하는 사건을 다룰 때 매우 유용합니다.  이항분포는 성공/실패와 같은 두 가지 결과를 가진 사건의 발생 횟수를 모델링합니다. 이항분포의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같이 정의됩니다.

1. 이항분포의 금융 리스크 분석 활용

주식 옵션의 가치는 기초 자산의 가격이 특정 가격을 넘을 확률에 의해 영향을 받습니다. 옵션의 만기 시점에 주식 가격이 특정 목표 가격을 넘을지 여부는 이항적 사건입니다. 이항분포를 사용하여 옵션의 만기일에 주식 가격이 목표 가격을 초과할 확률을 예측할 수 있습니다. 주식의 가격 변동이 독립적이고 일정 확률로 특정 목표 가격을 넘는 경우, 이항분포는 옵션의 기초 자산이 주어진 가격을 초과할 확률을 계산하는 데 유용합니다.

기업의 디폴트(파산) 여부를 이항분포로 모델링할 수 있습니다. 각 기업이 디폴트할 확률이 일정하다고 가정할 때, 일정 기간 내에 디폴트하는 기업의 수를 예측하는 데 이항분포를 사용할 수 있습니다. 기업들이 독립적으로 파산하는 경우, 이항분포는 디폴트가 발생할 확률을 계산하는 데 유용합니다.

2. 적합한 상황

주식 옵션 만기, 기업 디폴트, 투자 성공/실패와 같이 두 가지 가능한 결과만 존재하는 사건을 다룰 때 적합합니다. 그리고 여러 번의 독립적인 시도에서 성공/실패의 횟수를 예측해야 하는 경우, 예를 들어 여러 기업의 디폴트 예측이나 여러 번의 투자 전략 성과 분석에 유용합니다. 또한, 각 사건이 일정 확률로 발생하는 경우, 예를 들어 일정 확률로 주식 가격이 특정 수준을 초과하는지 여부를 예측하는 데 유용합니다.

3. 한계

이항분포는 사건들이 독립적으로 발생한다고 가정합니다. 하지만 실제 금융 시장에서는 사건들이 상호 영향을 미칠 수 있기 때문에, 이 가정이 항상 성립하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 한 기업의 디폴트가 다른 기업의 디폴트 확률에 영향을 미칠 수 있습니다. 이런 경우에는 독립적 사건을 가정하는 이항분포를 사용하는 것이 부적절할 수 있습니다.

이항분포는 두 가지 가능한 결과만을 다루므로, 다양한 결과가 있는 상황에서는 적합하지 않습니다. 예를 들어, 주식의 가격 변동이 연속적인 값을 가질 때는 이항분포보다는 정규분포나 로그정규분포와 같은 연속 분포를 사용하는 것이 적합합니다.

 

 

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각 전공 분야마다 확률분포가 활용된 금융 리스크 분석에 대한 관심사와 적용 방향이 다양하게 나타납니다. 따라서 학생들은 자신의 관심과 탐구 목표에 따라 다양한 주제를 선택할 수 있습니다. 대치동 미래인재 입시컨설팅에서는 학생들이 의학 생명 계열 진로를 향해 나아가기 위해 수학 및 미적분 교과와 관련된 세특 보고서, 주제 탐구 보고서, 수행평가 결과물, 동아리 활동 보고서, 그리고 진로 활동 보고서 등을 통합적으로 다루며, 이를 기반으로 한 1:1 컨설팅을 통해 학생들의 학습 및 진로 계획을 지원하고 있습니다.

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