[과학 공학] 수학 세특 주제 탐구 - 다항함수를 활용한 드론 경로 계획 알고리즘 최적화 탐구

[과학 공학] 수학 세특 주제 탐구

다항함수를 활용한 드론 경로 계획 알고리즘 최적화 탐구

 

안녕하세요. 대치동 미래인재컨설팅입니다. 최근 드론 기술은 물류 배송, 재난 구조, 국토 조사 등 다양한 분야에서 활용도가 급격히 높아지며, 그 비행 경로의 효율성과 안정성에 대한 관심도 함께 커지고 있습니다. 드론이 자율적으로 비행하면서 장애물을 피해 목적지까지 최적의 경로를 선택하려면, 단순한 조종 기술을 넘어 수학적 모델링과 경로 계획 알고리즘의 결합이 필수적으로 요구됩니다.

특히 시간에 따른 위치 변화를 함수로 나타내는 다항함수는 드론의 곡선 비행 경로를 수학적으로 표현하는 데 적합한 도구로 주목받고 있으며, A* 알고리즘 등과 같은 경로 탐색 기법과 함께 활용될 경우 높은 수준의 경로 최적화가 가능합니다. 이러한 수학적 접근은 단지 이론에 머무르지 않고 실제 산업 기술로 이어질 수 있다는 점에서 교육적 의미도 큽니다.

대치동 미래인재컨설팅에서는 다항함수 개념과 컴퓨터 알고리즘을 접목한 드론 경로 최적화 문제를 함께 살펴보며, 수학과 공학의 융합적 사고력을 키우고, 과학·공학 계열 진로를 희망하는 학생들에게 유의미한 탐구 방향을 제시하고자 합니다.

 

드론 비행 경로 최적화 문제의 구조 이해

1. 드론 비행 경로 최적화의 개념과 필요성

드론이 자율적으로 이동하기 위해서는 단순한 직선 이동이 아닌, 주변 환경을 고려한 최적의 비행 경로를 설정해야 합니다. 이때의 ‘최적 경로’는 반드시 가장 짧은 경로를 의미하지는 않으며, 비행 시간, 연료 소비량(또는 배터리 사용량), 안전성, 회전 각도 최소화, 장애물 회피 등의 다양한 요소가 동시에 고려됩니다. 예를 들어, 장애물이 많은 환경에서 짧은 거리만을 우선시하면 충돌 위험이 커질 수 있기 때문에, 일부러 돌아가더라도 부드러운 경로가 오히려 더 적절한 선택이 됩니다. 이러한 상황 판단은 알고리즘이 담당하지만, 알고리즘이 작동하기 위해서는 먼저 환경과 문제를 수학적으로 잘 정의하는 것이 매우 중요합니다.

2. 비행 공간과 경로의 수학적 모델링 방식

드론이 이동하는 실제 공간은 3차원이지만, 많은 기본 경로 탐색 알고리즘은 2차원 평면상에서 먼저 작동하며, 이를 확장해 3차원 적용이 가능합니다. 이 공간은 일반적으로 좌표평면(x, y, z) 으로 표현되며, 이동 가능한 위치와 이동 불가능한 장애물 위치를 명확하게 나누어 모델링해야 합니다. 예를 들어, 드론이 어떤 지역을 통과할 수 없는 경우(예 : 건물, 나무, 강)는 해당 구간을 장애물로 간주하고, 그래프의 노드 간 연결을 제한합니다. 드론의 위치는 시간에 따라 변화하는 좌표로 나타낼 수 있으며, 이때 위치 변화를 함수로 표현하면 다음과 같습니다.

3. 경로의 평가 기준과 알고리즘의 역할

설정된 경로가 ‘좋은 경로’인지 판단하기 위해서는 수학적 평가 기준이 필요합니다. 대표적으로는 총 이동 거리, 경로 곡률(꺾임 정도), 이동 시간, 에너지 소모량, 충돌 가능성 등이 있으며, 이들은 수치화하여 비교할 수 있습니다. 예를 들어, 경로의 길이는 함수 x(t),y(t)를 이용해 다음과 같은 정적분으로 계산할 수 있습니다.

이와 같은 수학적 지표를 바탕으로 알고리즘은 여러 후보 경로 중 가장 효율적인 경로를 선택하게 됩니다. 일반적으로 사용되는 경로 계획 알고리즘에는 A*(최적의 경로를 빠르게 찾기 위한 대표적인 경로 탐색 알고리즘), Dijkstra, RRT(Rapidly-exploring Random Tree) 등이 있으며, 이들은 공간을 그래프처럼 나누고, 각 경로의 비용을 계산한 후 최적 경로를 도출합니다. 여기에 다항함수를 결합하면, 경로를 선분이 아닌 부드러운 곡선으로 구성할 수 있어 실제 드론의 비행 안정성과 제어 측면에서도 유리합니다.

 

다항함수를 이용한 비행 경로 표현 방식 탐구

1. 비행 경로를 함수로 표현하는 이유 : 연속성과 예측 가능성 확보

드론이 이동하는 경로를 다항함수로 표현하는 가장 큰 이유는 경로의 연속성과 예측 가능성을 수학적으로 확보할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 단순히 직선으로만 이동하거나 특정 좌표를 이은 경로는 급격한 회전이나 불연속적인 움직임이 발생할 수 있습니다.
반면 다항함수는 연속적이고 미분 가능한 곡선을 생성하기 때문에, 위치뿐만 아니라 속도, 가속도까지도 자연스럽게 연결됩니다.
이는 드론이 실제로 안정적인 비행을 수행하고 제어되기 위해 필수적인 조건입니다.

2. 2차 또는 3차 다항함수를 이용한 기본 곡선 경로 표현

가장 단순한 형태로, 경로를 2차식 또는 3차식 다항함수로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 드론이 x(t),y(t) 좌표를 따라 이동한다고 가정할 때, 다음과 같은 형태로 모델링이 가능합니다

또는

이러한 방식은 간단한 곡선 경로를 표현할 수 있으며, 출발점과 도착점, 그리고 속도 조건을 동시에 만족시키기 쉬워 실제 적용이 용이합니다. 특히 3차 다항함수는 위치, 속도, 가속도의 연속성을 모두 고려할 수 있어, 기본적인 곡선 경로 최적화에 자주 사용됩니다.

3. 고차 다항함수를 활용한 경로 정밀도 향상

더 정밀한 경로가 필요한 경우에는 5차, 7차 등의 고차 다항함수가 사용되기도 합니다. 고차 다항함수는 더 많은 제약 조건을 동시에 만족시킬 수 있기 때문에, 예를 들어 다음과 같은 경로 제어가 가능합니다.

• 출발점/도착점의 위치, 속도, 가속도, 방향 각도까지 설정
• 중간에 반드시 지나야 하는 지점을 포함
• 경로가 부드럽고 불연속적인 꺾임 없이 연결

하지만 차수가 높아질수록 함수의 형태가 복잡해지고, 계산량이 많아지며, 오히려 비현실적인 경로가 생성되는 경우도 있어, 실전에서는 필요한 만큼의 차수만 사용하는 것이 중요합니다.

 

 

경로 계획 알고리즘의 원리와 다항함수와의 연결

1. 경로 계획 알고리즘의 기본 원리 : 그래프 기반 탐색

드론의 이동 공간은 일반적으로 2차원 또는 3차원 좌표평면 위에서 표현됩니다. 이 공간은 수많은 점(노드)과 그 사이를 연결하는 선(간선)으로 구성된 그래프로 추상화할 수 있습니다. 출발지에서 목적지까지 갈 수 있는 다양한 경로 중에서, 어떤 경로가 ‘가장 짧거나’, ‘가장 안전하거나’, ‘가장 효율적인지’를 계산하는 것이 경로 계획 알고리즘의 핵심입니다. 대표적인 알고리즘으로는 Dijkstra 알고리즘과 A* 알고리즘이 있으며, 이들은 각각 다음과 같은 방식으로 작동합니다.

• Dijkstra는 모든 가능한 경로의 거리(또는 비용)를 계산해 가장 짧은 경로를 찾습니다.
• A*는 현재까지 걸린 거리 + 앞으로 예상되는 거리(휴리스틱)를 더해 더 빠르게 최적 경로를 추정합니다.
  이러한 알고리즘은 ‘경로’를 점과 선으로 이은 선형적인 경로로 표현하는 것이 일반적이며, 이 경로를 그대로 사용하면 드론의 비행 경로가 꺾이고 불연속적으로 움직이게 될 수 있습니다.

2. 선형 경로의 한계와 곡선 경로의 필요성

기존의 경로 탐색 알고리즘은 이동 경로를 “격자(grid) 위를 한 칸씩 이동하는 직선 경로”처럼 표현합니다. 이는 계산하기 쉽고, 경로 추적이 간단하다는 장점이 있지만 실제 드론의 물리적 움직임에는 부적합한 점이 있습니다. 예를 들어, 드론은 순간적으로 90도 회전하거나 급정지를 할 수 없고, 부드러운 방향 전환과 연속적인 움직임이 필요합니다. 따라서 실제 비행에 적용하려면, 알고리즘이 제안한 선형 경로를 기반으로 곡선 경로로 다시 보정(보간, 보정)하는 과정이 필요하며, 이때 다항함수가 효과적인 도구가 됩니다.

3. 경로 계획 알고리즘과 다항함수의 연결 방식

알고리즘은 먼저 ‘어떤 경로가 가장 좋을지’ 판단해 좌표 순서를 출력합니다. 예를 들어, A → B → C → D라는 순서를 도출했다고 합시다. 여기서 각 점을 단순히 직선으로 잇는 것이 아니라, 이 점들을 지나는 다항함수 곡선을 만들어 부드럽고 연속적인 경로를 설계할 수 있습니다. 이 연결에는 두 가지 접근 방식이 있습니다.

• 전체 경로를 하나의 고차 다항함수로 모델링

      → 경로 전체를 5차 또는 7차 함수 하나로 표현

      → 위치, 속도, 가속도 조건을 한꺼번에 제어 가능

      → 단점: 경로가 길거나 조건이 많을수록 계산이 복잡해짐

• 각 구간을 구분해 저차 다항함수로 나누는 스플라인 방식

      → A–B, B–C, C–D 각 구간마다 3차 함수로 경로 구성

      → 각 함수의 경계점에서 위치와 기울기(속도)가 연속되도록 조건 부여

      → 계산 안정성 높고, 로컬 수정이 쉬움

4. 실제 적용 예시 : 알고리즘 + 함수의 시뮬레이션 융합

예를 들어, A* 알고리즘으로 나온 경로가 다음 좌표를 통과해야 한다고 합시다.

이 좌표들을 곡선으로 연결하는 함수는 다음과 같이 구성될 수 있습니다.

여기서 t는 시간 또는 경로 상의 진행 정도를 나타내는 변수이고, 각 계수는 경계 조건(위치, 속도 등)을 만족하도록 설정됩니다. 이와 같은 방식으로 알고리즘의 결과를 함수적 형태로 표현하면, 실제 드론이 실행 가능한 명령어로 변환할 수 있으며, 시뮬레이션을 통한 검증과 실험이 가능해집니다.

 

함수 기반 경로 최적화 시뮬레이션 및 결과

1. 시뮬레이션 환경 구성과 초기 조건 설정

경로 최적화를 위한 시뮬레이션은 가상의 2차원 공간(예 : 10×10 격자 지도)을 설정하고, 출발점과 도착점을 지정한 뒤, 그 사이에 장애물을 배치하여 구성할 수 있습니다. 예를 들어, 출발점 A(0,0)A(0, 0)A(0,0), 도착점 B(10,8)B(10, 8)B(10,8), 중간에 회피해야 할 장애물 영역이 있다고 가정합니다. 먼저 A* 알고리즘을 통해 드론이 이동 가능한 점들의 경로(예 : A → C → D → B)를 탐색하고, 이 점들을 연결하는 다항함수를 통해 실제 비행 경로를 곡선으로 모델링합니다. 이때의 모델링 방식은 주로 3차 또는 5차 다항함수, 혹은 스플라인 함수로 표현하며, 각 구간별 경계조건(위치, 속도 연속성 등)을 만족시키도록 계수를 계산합니다. 시뮬레이션 도구는 Python 또는 GeoGebra와 같은 시각화 툴을 활용할 수 있습니다.

2. 다항함수 기반 경로 생성과 경로 특성 분석

다항함수로 구성된 곡선 경로는 각 좌표 구간 사이를 부드럽고 연속적으로 연결하여 실제 드론의 물리적 비행과 유사한 움직임을 제공합니다. 예를 들어, 두 점 사이의 x좌표, y좌표를 각각 시간 t에 대한 다항식으로 설정한 경우,

이 식을 기반으로 경로의 특성을 분석할 수 있습니다.

• 이동 거리 : 곡선의 길이를 계산하여 직선 경로와 비교
• 곡률 분석 : 특정 지점에서 경로가 얼마나 급격하게 꺾이는지 평가
• 속도와 가속도 변화 : 함수의 1차, 2차 미분을 통해 이동 시 속도 안정성 확인

분석 결과, 다항함수 경로는 선형 경로보다 회전 횟수는 줄이면서도 전체 이동 거리의 증가를 최소화하여, 보다 부드럽고 안정적인 경로를 제공하는 것으로 나타납니다.

3. 결과 비교 및 시사점 도출

같은 출발점과 도착점을 기준으로, 선형 연결 경로(A* 알고리즘의 원형)와 다항함수 기반 곡선 경로를 비교 분석한 결과는 다음과 같습니다.

 비교 항목                                 선형 경로                                                  다항함수 경로

이동 거리	짧지만 꺾임 많음	약간 더 길지만 곡선형
회전 횟수	많음	적음
에너지 효율	회전 시 손실 큼	효율적 제어 가능
속도 안정성	급변 가능성 있음	점진적 변화
충돌 위험	모서리에서 높음	회피 경로 설계 가능

이 시뮬레이션을 통해 드론 비행 경로 설계 시, 단순한 최단 거리보다도 곡선의 연속성과 안정성이 더욱 중요할 수 있으며, 이를 위해 다항함수를 활용한 수학적 모델링이 매우 효과적이라는 점을 확인할 수 있었습니다.

이러한 수학적 접근은 실제 드론뿐 아니라 자율주행차, 로봇 팔 제어, 의료 영상 장치 이동 등 다양한 공학 분야에 응용될 수 있으며, 고등 수학에서 배우는 함수, 미분, 최적화 개념이 실생활 기술과 어떻게 연결되는지를 보여주는 대표적인 사례라고 할 수 있습니다.

 

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각 전공 분야마다 다항함수를 활용한 드론 경로 계획 알고리즘 최적화 탐구에 대한 관심사와 적용 방향이 다양하게 나타납니다. 따라서 학생들은 자신의 관심과 탐구 목표에 따라 다양한 주제를 선택할 수 있습니다. 대치동 미래인재 입시컨설팅에서는 학생들이 과학 공학 계열 진로를 향해 나아가기 위해 수학 및 미적분 교과와 관련된 세특 보고서, 주제 탐구 보고서, 수행평가 결과물, 동아리 활동 보고서, 그리고 진로 활동 보고서 등을 통합적으로 다루며, 이를 기반으로 한 1:1 컨설팅을 통해 학생들의 학습 및 진로 계획을 지원하고 있습니다.

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