[컴퓨터 SW] 기하 세특 주제 탐구 - 게임 캐릭터 생성에 활용된 3D 모델링과 기하학

[컴퓨터 SW] 기하 세특 주제 탐구

게임 캐릭터 생성에 활용된 3D 모델링과 기하학

 

안녕하세요. 대치동 미래인재컨설팅입니다. 요즘의 게임은 단순한 오락을 넘어, 몰입감 있는 이야기와 생생한 그래픽으로 마치 영화와 같은 경험을 제공합니다. 특히 실제와 흡사한 캐릭터의 움직임과 표정은 게임 속 세계를 더욱 사실적으로 느끼게 만듭니다. 이러한 캐릭터들이 어떻게 만들어지는지 궁금해 본 적 있으신가요? 우리가 눈으로 보는 화려한 그래픽 이면에는 정교한 수학과 과학 기술이 숨어 있습니다.

게임 캐릭터를 구현하기 위해서는 먼저 사람이나 동물의 형태를 수학적으로 모델링해야 하며, 이를 위해 3D 공간에서의 좌표 설정, 다각형 분할, 그리고 움직임을 위한 뼈대 구조 등 다양한 기하학적 원리들이 활용됩니다. 또한, 캐릭터가 실제처럼 움직이기 위해서는 물리적 제약 조건과 조명 효과, 표면의 질감까지 과학적으로 설계되어야 하죠. 이처럼 게임 제작에는 예술적 감각뿐 아니라, 공간을 해석하고 수학적으로 표현할 수 있는 과학적 사고가 필수적입니다.

이번 대치동 미래인재컨설팅의 포스팅에서는 3D 모델링과 기하학이 게임 캐릭터 생성에 어떻게 활용되는지 탐구해 보는 시간을 가지려고 합니다. 게임 속 세계가 어떤 과학적 원리로 구성되는지 살펴보고, 수학과 과학이 가상 공간에서 어떻게 실제처럼 작동하는지를 함께 분석해보고자 합니다.

 

다각형 메시 구조와 위상 기하학 : 게임 캐릭터 형태의 수학적 기반

1. 메시(Mesh)의 기본 구조

게임 속 캐릭터의 외형은 '메시(Mesh)'라고 불리는 다각형의 집합으로 이루어져 있습니다. 메시란, 3차원 공간에서 어떤 물체의 표면을 점, 선, 면으로 쪼개어 표현한 구조입니다. 이 중 가장 기본 단위는 삼각형 또는 사각형으로 이루어진 면이며, 수많은 면들이 모여 하나의 3D 캐릭터를 형성하게 됩니다. 이러한 메시 구조 덕분에 캐릭터의 복잡한 곡선과 형태를 수학적으로 정밀하게 표현할 수 있으며, 이후 애니메이션, 조명, 텍스처와 같은 다양한 연산이 가능해집니다.

2. 삼각 메시가 가장 널리 사용되는 이유

3D 모델링에서 가장 널리 사용되는 메시 형태는 ‘삼각 메시’입니다. 이는 모든 다각형이 삼각형으로 구성되어 있다는 뜻으로, 수학적으로 삼각형은 어떤 세 점으로도 정의할 수 있고 항상 하나의 평면에 존재하기 때문에 연산이 간단하고 안정적입니다. 또한 그래픽 처리 장치(GPU)는 삼각형을 가장 빠르고 정확하게 처리할 수 있도록 최적화되어 있어, 실제 게임 엔진에서도 삼각 메시가 기본 단위로 사용됩니다. 이런 이유로 복잡한 캐릭터의 외형도 모두 수많은 작은 삼각형으로 나누어 모델링하게 됩니다.

• 삼각형의 평면 법선 벡터 계산

(A, B, C는 삼각형의 꼭짓점, ×는 벡터의 외적)

3. 위상 기하학이 메시 모델링에 중요한 이유

위상 기하학은 물체의 모양이 변형되어도 연결 관계가 유지되는 성질을 연구하는 수학 분야입니다. 캐릭터 모델링에서는 메시가 갖는 '연결성'이 매우 중요한데, 예를 들어 사람 얼굴을 모델링할 때 눈, 코, 입이 모두 서로 끊김 없이 연결되어야 자연스러운 표정 변화나 움직임이 가능해집니다. 이러한 위상 구조를 고려하여 메시를 설계하면, 나중에 뼈대 구조를 붙이거나 애니메이션을 적용할 때 오류가 생기지 않고 매끄럽게 동작합니다. 즉, 외형뿐만 아니라 내부 연결 관계까지 수학적으로 고려해야 제대로 된 캐릭터가 만들어집니다.

4. 메시의 위상 검사와 오일러 정리의 활용

메시 구조가 위상적으로 올바른지를 판단하기 위해 사용하는 대표적인 수학적 도구가 오일러의 다면체 정리입니다. 이 정리는 메시가 닫힌 형태일 경우, 꼭짓점 수, 엣지 수, 면의 수 사이에 일정한 관계가 있어야 한다는 것을 말해줍니다. 이 식을 이용해 모델링한 메시가 수학적으로 오류 없는 구조인지 점검할 수 있고, 메시가 지나치게 복잡하거나 비효율적으로 구성된 경우 이를 정리하는 기준으로도 활용됩니다. 특히 고해상도 모델에서 메시를 최적화하거나 자동 생성된 메시 구조를 검사할 때 유용하게 쓰입니다.

• 오일러의 다면체 정리

(V : 꼭짓점 수, E : 엣지 수, F : 면 수)

 

3D 모델링에서의 변환 행렬과 공간 좌표계 이해

1. 3차원 공간에서의 좌표계란 무엇인가?

3차원 그래픽 세계에서 모든 객체는 '좌표계'라는 기준 안에서 위치를 정의하게 됩니다. 좌표계란 말 그대로 공간 안에서 위치와 방향을 수치로 표현하는 기준이며, 보통 X, Y, Z의 세 축으로 구성됩니다.

• X축 : 좌우 방향
• Y축 : 상하 방향
• Z축 : 앞뒤 방향

모델링 소프트웨어나 게임 엔진에서는 각각의 객체가 자체적인 '로컬 좌표계'를 갖고 있으며, 이는 다시 '월드 좌표계'안에서의 위치로 변환되어 표현됩니다. 즉, 캐릭터의 손처럼 몸의 일부에 붙어 있는 오브젝트는 손 기준으로 좌표가 정해지지만, 전체 캐릭터는 게임 공간 속에서 별도의 위치에 놓입니다. 이처럼 다양한 계층의 좌표계가 정해지고 변환되는 구조를 통해 복잡한 움직임과 위치 연산이 가능해집니다. 

2. 변환이란 무엇인가?

3D 모델링에서 '변환'이란 객체의 위치, 방향, 크기를 바꾸는 수학적 연산을 의미합니다. 이 변환에는 세 가지 종류가 있습니다.

• 이동 : 객체를 한 위치에서 다른 위치로 옮김
• 회전 : 객체를 축을 중심으로 회전시킴
• 스케일 : 객체의 크기를 늘리거나 줄임

이러한 변환들은 컴퓨터 내부에서 '행렬(Matrix)'로 처리됩니다. 각 변환은 4×4 행렬로 표현되며, 이 행렬들을 순차적으로 곱해주면 하나의 최종 변환 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서, 캐릭터를 앞쪽으로 한 칸 이동시키고, 오른쪽으로 90도 회전시키며, 크기를 두 배로 키우는 연산도 모두 행렬 곱셈만으로 계산할 수 있게 됩니다.

• 이동 행렬

• 스케일 행렬

• 회전 행렬 (예 : Z축 기준 회전)

3. 동차 좌표의 도입

3D 공간에서 단순한 행렬로는 이동과 회전을 동시에 다룰 수 없습니다. 이를 해결하기 위해 도입된 개념이 바로 동차 좌표계입니다. 이는 기존의 3D 좌표 (x,y,z)에 추가적인 차원(w = 1)을 더하여 (x,y,z,1)로 표현하는 방식입니다. 이 w값이 존재함으로써, 모든 변환을 하나의 4×4 행렬 곱으로 통합할 수 있습니다. 덕분에 연속적인 변환(예 : 이동 → 회전 → 스케일)을 한 줄의 연산으로 표현할 수 있게 되었고, 이는 렌더링 파이프라인에서 매우 효율적인 계산 구조를 만들어줍니다.

 

 

리깅과 스켈레탈 애니메이션의 수학 원리

1. 스켈레탈 애니메이션이란?

스켈레탈 애니메이션은 3D 캐릭터를 구성하는 뼈대 구조를 중심으로 애니메이션을 구현하는 방식입니다. 복잡한 폴리곤 메시를 직접 움직이는 대신, 본(bone)이라는 추상적인 조인트 구조를 만들어 움직임을 제어합니다. 예를 들어 캐릭터의 팔을 움직이고 싶을 때, 팔을 구성하는 메시 전체를 직접 바꾸는 게 아니라, 어깨와 팔꿈치에 해당하는 뼈를 회전시키는 방식으로 처리합니다. 이렇게 하면 훨씬 효율적이고 유연한 애니메이션이 가능합니다. 스켈레탈 애니메이션은 크게 두 단계를 따릅니다.

• 리깅 : 본(Bone)과 관절(Joint)을 설정하고, 메시와 연결
• 스키닝 : 메시를 본에 따라 실제로 변형시키는 과정

2. 본(Bone) 구조와 계층적 변환

스켈레톤은 계층 구조로 이루어집니다. 예를 들어, 팔은 어깨 → 팔꿈치 → 손목으로 이어지며, 어깨가 움직이면 그 아래의 모든 본도 함께 움직입니다. 이를 수학적으로는 각 본이 부모-자식 관계로 묶인 변환 행렬을 통해 구현합니다. 최종적으로, 특정 본의 월드 위치는 부모의 변환과 자식 본의 변환을 행렬 곱으로 누적해서 구합니다.

3. 스키닝과 선형 블렌딩

스키닝은 메시의 각 꼭짓점을 어떤 본의 움직임에 얼마나 따라가게 할지를 설정하는 과정입니다. 이를 가중치 기반 선형 블렌딩(Linear Blend Skinning, LBS) 방식으로 구현합니다. 각 꼭짓점은 하나의 본에만 연결되지 않고, 여러 본의 영향을 가중치로 나눠 받습니다. 이때의 변형은 다음과 같은 수식으로 표현됩니다.

이러한 수식을 통해, 팔꿈치가 회전하면 팔의 표면 메시가 자연스럽게 회전하고 구부러지게 됩니다.

 

사실감을 높이는 텍스처 매핑과 조명 모델의 기하학

1. 텍스처 매핑이란?

텍스처 매핑은 3D 모델의 표면에 2D 이미지를 입히는 기법입니다. 단순한 색상으로만 표현되던 메시가 텍스처라는 이미지 덕분에 피부, 옷감, 금속 등 다양한 재질감을 가질 수 있게 됩니다. 이 과정은 3D 모델의 각 꼭짓점에 2D 좌표인 UV 좌표를 할당 -> 이 UV 좌표를 통해 텍스처 이미지의 특정 부분을 모델 표면의 해당 위치에 대응 -> 렌더링 시 픽셀 단위로 텍스처 색상이 모델 표면에 입혀짐 의 과정으로 이루어집니다. 이때 가장 중요한 점은 UV 매핑의 정확성으로, 왜곡 없이 텍스처가 고르게 분포되어야 자연스러운 효과가 나타납니다.

2. 빛과 표면의 상호작용을 결정하는 기하학 : 법선 벡터

조명 모델의 핵심은 빛이 표면에 닿았을 때 어떻게 반사되고 흡수되는가를 계산하는 것입니다. 이를 위해서는 표면의 기하학적 특성을 이해해야 합니다. 그 중 가장 중요한 개념이 바로 법선 벡터입니다. 법선 벡터는 표면에서 수직으로 뻗은 단위 벡터로, 빛과 표면이 만나는 각도를 계산하는 데 사용됩니다. 빛의 입사각과 법선 벡터 사이의 관계를 통해, 표면에 비치는 빛의 세기와 방향을 결정합니다. 예를 들어, 빛이 표면과 수직으로 입사하면 가장 밝게 보이고, 비스듬히 입사하면 빛이 약해집니다. 

• 수식 (빛의 세기 계산, Lambertian 반사 모델)

3. 텍스처와 조명의 결합 : 노멀 맵과 하이트 맵

텍스처 매핑만으로는 표면의 미세한 입체감까지 표현하기 어렵기 때문에, 추가적인 기법이 활용됩니다. 

• 노멀 맵 : 텍스처 이미지에 표면 법선 벡터 변화를 저장하여, 실제로는 평평한 면에 미세한 요철이 있는 것처럼 보이게 합니다. 이로써 조명이 받는 반사 각도가 다양해져 사실감이 증대됩니다.
• 하이트 맵 : 표면 높낮이 정보를 저장하며, 이를 바탕으로 픽셀별로 실제 표면을 변형시키는 기법 (파라렉스 매핑, 디스플레이스먼트 매핑 등)에 사용됩니다.

이 두 기법 모두, 조명과 텍스처의 기하학적 상호작용을 더욱 정밀하게 만들어 캐릭터나 환경의 디테일을 극대화합니다. 

 

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각 전공 분야마다 게임 캐릭터 생성에 활용된 3D 모델링과 기하학에 대한 관심사와 적용 방향이 다양하게 나타납니다. 따라서 학생들은 자신의 관심과 탐구 목표에 따라 다양한 주제를 선택할 수 있습니다. 대치동 미래인재 입시컨설팅에서는 학생들이 컴퓨터 SW 계열 진로를 향해 나아가기 위해 수학 및 미적분 교과와 관련된 세특 보고서, 주제 탐구 보고서, 수행평가 결과물, 동아리 활동 보고서, 그리고 진로 활동 보고서 등을 통합적으로 다루며, 이를 기반으로 한 1:1 컨설팅을 통해 학생들의 학습 및 진로 계획을 지원하고 있습니다.

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